解题思路

“Z”字由哪几部分拼成？

在 n×n 的方阵里，“Z”字由三部分组成：

1. 第 1 行（Z 字最上面的横）；
2. 第 n 行（Z 字最下面的横）；
3. 辅对角线（连接上面横的右端到下面横的左端的斜线，也就是从右上到左下的那条对角线）。

我们要把这三部分上所有元素加起来。

怎么不重复、不遗漏地累加？

第 1 行和第 n 行的所有格子都算，这个很简单。麻烦的是辅对角线：

• 辅对角线的最右端格子 (1, n) 已经在第 1 行里了；
• 辅对角线的最左端格子 (n, 1) 已经在第 n 行里了；
• 所以，辅对角线只需要把中间部分（第 2 行到第 n-1 行）的数加进来。

辅对角线上的格子满足：行号 + 列号 = n + 1（行、列都从 1 开始编号）。所以对第 i 行的格子，如果 i > 1 且 i < n 且 i + j == n + 1，就累加。

一个容易出错的特殊情况：n = 1

当 n = 1 时，第 1 行和第 n 行是同一个格子。但这个格子既属于“Z 字上面的横”，也属于“Z 字下面的横”，所以它要被累加两次。

因此代码里要写成两个独立的 if：if (i == 1) s += x; 和 if (i == n) s += x;。这样当 n = 1 时，唯一的格子会被加两次，正好正确。

验证样例： n=3 时，第 1 行 0+1+2=3，第 3 行 0+1+2=3，辅对角线中间只有 (2,2) 是 1，总和 3+3+1=7，与输出一致。

参考代码

// P4509 Z字上的数字和：第1行 + 第n行 + 辅对角线中间部分
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n, x;
    cin >> n;
    long long s = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> x;
            if (i == 1) s += x;                          // 第1行都在Z字上
            if (i == n) s += x;                          // 第n行也在Z字上(n=1时重合也算)
            if (i > 1 && i < n && i + j == n + 1) s += x; // 辅对角线中间部分
        }
    }
    cout << s << endl;
    return 0;
}

复杂度分析

设方阵大小是 n×n。

• 时间：两层循环要把 n×n 个格子全部读入并判断，时间复杂度是 O(n^2)；
• 空间：不需要存整个方阵，边读边累加，只用几个变量，空间复杂度是 O(1)。