P4352 求出e的值（【基础】）

解题思路

数学里的自然常数 $e$ 可以这样累加：$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$。题目给了 $n$（最大 15），我们把每一项加起来就行。

关键是不要每次重新算阶乘。第 $i$ 项的阶乘 $i! = (i-1)! \times i$，所以只要用一个变量 f 记着上一项的阶乘，每次乘上 $i$ 就得到 $i!$，再算 $1.0/f$ 加进 e 里。

拿样例 $n=10$ 来说，程序会把 $\frac{1}{1!}$ 到 $\frac{1}{10!}$ 全部加上，得到 $e≈2.718281801146\cdots$，保留 10 位小数输出 2.7182818011，和样例一致。

两个细节：

• 分数要用 1.0 / f 而不是 1 / f。整数除整数会直接丢掉小数变成 0，写 1.0 才能得到小数结果；
• 题目要求保留小数点后 10 位，用 printf("%.10lf\n", e) 输出即可。

边界情况：$n$ 最小是 2，$1!$ 和 $2!$ 这两项都要算上。$n$ 最大 15 时，$15!$ 很大，但阶乘变量用 double 存，精确度足够输出 10 位小数。

参考代码

// 利用公式 e=1+1/1!+1/2!+...+1/n! 求e，保留10位小数
#include <cstdio>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    double e = 1;      // 第一项就是1
    double f = 1;      // 阶乘，从1!开始
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f *= i;        // 得到i的阶乘
        e += 1.0 / f;  // 累加1/i!
    }
    printf("%.10lf\n", e);   // 保留10位小数输出
    return 0;
}

复杂度分析

循环 $n$ 次，$n$ 最大 15，所以时间复杂度是 $O(n)$。只用了两个 double 变量和一个整数，额外空间复杂度是 $O(1)$。