解题思路

题目要求计算 1! + 2! + 3! + …… + n!，n 最大 50。50! 有 65 位数字，int 和 long long 都存不下，要用高精度。

思路：

用一个数组 fac 存当前阶乘的值，另一个数组 sum 存累加和。

1. fac 初始为 1（0!）
2. 从 1 循环到 n：
   • 每位乘 i，处理进位，得到 i! 存进 fac
   • 把 fac 加到 sum，处理进位
3. 最后 sum 里存的就是所有阶乘的和

为什么要高精度？ 因为 50! 太大，普通整数存不下，用数组一位一位存就能算任意大小的数。

为什么一边算一边加？ 不用先算完所有阶乘再相加，算出一个阶乘立刻加到总和里，省内存也简单。

参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

int fac[100];  // 存当前阶乘
int sum[100];  // 累加所有阶乘

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    fac[0] = 1;  // 0! = 1

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 每位乘 i，得到新的阶乘
        for (int j = 0; j < 100; j++) fac[j] *= i;
        // 处理进位
        for (int j = 0; j < 99; j++) {
            if (fac[j] >= 10) {
                fac[j + 1] += fac[j] / 10;
                fac[j] %= 10;
            }
        }
        // 累加到总和
        for (int j = 0; j < 100; j++) sum[j] += fac[j];
        // 总和进位
        for (int j = 0; j < 99; j++) {
            if (sum[j] >= 10) {
                sum[j + 1] += sum[j] / 10;
                sum[j] %= 10;
            }
        }
    }

    // 找到最高位并输出
    int p = 99;
    while (p > 0 && sum[p] == 0) p--;
    for (int i = p; i >= 0; i--) cout << sum[i];
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N²)，n 次阶乘，每次处理若干位
• 空间复杂度：O(N)，存阶乘和总和的数组